Упр.22.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) 2sin 17x + корень(3)cos 5x + sin 5x = 0;
б) 5sin x — 12cos x + 13sin 3x = 0.

а)

$$2\sin 17x+\sqrt{3}\cos 5x+\sin 5x=0$$

Представим сумму $$\sqrt{3}\cos 5x+\sin 5x$$ в виде одной синусоиды:

$$\sqrt{3}\cos 5x+\sin 5x=2\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)$$

Тогда

$$2\sin 17x+2\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=0$$

Используем формулу суммы синусов:

$$ 2\sin 17x+2\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right) =4\sin\left(11x+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)=0 $$

Следовательно,

$$ \sin\left(11x+\frac{\pi}{6}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)=0 $$

1) $$11x+\frac{\pi}{6}=\pi n$$, откуда

$$x=-\frac{\pi}{66}+\frac{\pi n}{11}$$

2) $$6x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, откуда

$$x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{6}$$

б)

$$5\sin x-12\cos x+13\sin 3x=0$$

Преобразуем выражение $$5\sin x-12\cos x$$:

$$5\sin x-12\cos x=13\sin(x-t), \quad \cos t=\frac{5}{13}$$

Значит,

$$13\sin(x-t)+13\sin 3x=0$$

Делим на $$13$$ и применяем формулу суммы синусов:

$$ \sin(x-t)+\sin 3x =2\sin\left(2x-\frac{t}{2}\right)\cos\left(x+\frac{t}{2}\right)=0 $$

Следовательно,

$$ \sin\left(2x-\frac{t}{2}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(x+\frac{t}{2}\right)=0 $$

Так как $$\cos t=\frac{5}{13}$$, то

$$t=\arccos\frac{5}{13}$$

1) $$2x-\frac{t}{2}=\pi n$$, откуда

$$x=\frac{1}{4}\arccos\frac{5}{13}+\frac{\pi n}{2}$$

2) $$x+\frac{t}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, откуда

$$x=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\arccos\frac{5}{13}+\pi n$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{66}+\frac{\pi n}{11},\; x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{6},\; n\in\mathbb{Z}$$

б) $$x=\frac{1}{4}\arccos\frac{5}{13}+\frac{\pi n}{2},\; x=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\arccos\frac{5}{13}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$