Упр.22.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) 4sin x — Зcos x = 5;
б) 3sin 2x + 4cos 2x = 2,5;
в) 12sin x + 5cos x + 13 = 0;
г) 5cos x/2 — 12sin x/2 = 6,5.

Подробный ответ

$$4\sin x-3\cos x=5$$
Представим левую часть в виде $$5\sin(x-t)$$:
$$4\sin x-3\cos x=5\left(\frac45\sin x-\frac35\cos x\right)=5\sin(x-t),$$
где
$$\cos t=\frac45,\qquad t=\arccos\frac45.$$
Тогда
$$5\sin(x-t)=5,$$
$$\sin(x-t)=1,$$
$$x-t=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{2}+t+2\pi n.$$
Следовательно,
$$x=\frac{\pi}{2}+\arccos\frac45+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$3\sin 2x+4\cos 2x=2{,}5$$
Представим левую часть в виде $$5\sin(2x+t)$$:
$$3\sin 2x+4\cos 2x=5\left(\frac35\sin 2x+\frac45\cos 2x\right)=5\sin(2x+t),$$
где
$$\cos t=\frac35,\qquad t=\arccos\frac35.$$
Тогда
$$5\sin(2x+t)=2{,}5,$$
$$\sin(2x+t)=\frac12,$$
$$2x+t=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}-\frac{t}{2}+\frac{\pi n}{2}.$$
Следовательно,
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}-\frac12\arccos\frac35+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
$$12\sin x+5\cos x+13=0$$
Перенесём число 13 вправо:
$$12\sin x+5\cos x=-13.$$
Представим левую часть в виде $$13\cos(x-t)$$:
$$12\sin x+5\cos x=13\left(\frac{12}{13}\sin x+\frac{5}{13}\cos x\right)=13\cos(x-t),$$
где
$$\cos t=\frac{5}{13},\qquad t=\arccos\frac{5}{13}.$$
Тогда
$$13\cos(x-t)=-13,$$
$$\cos(x-t)=-1,$$
$$x-t=\pi+2\pi n,$$
$$x=\pi+t+2\pi n.$$
Следовательно,
$$x=\pi+\arccos\frac{5}{13}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$5\cos\frac{x}{2}-12\sin\frac{x}{2}=6{,}5$$
Представим левую часть в виде $$13\cos\left(\frac{x}{2}+t\right)$$:
$$5\cos\frac{x}{2}-12\sin\frac{x}{2}=13\left(\frac{5}{13}\cos\frac{x}{2}-\frac{12}{13}\sin\frac{x}{2}\right)=13\cos\left(\frac{x}{2}+t\right),$$
где
$$\cos t=\frac{5}{13},\qquad t=\arccos\frac{5}{13}.$$
Тогда
$$13\cos\left(\frac{x}{2}+t\right)=6{,}5,$$
$$\cos\left(\frac{x}{2}+t\right)=\frac12,$$
$$\frac{x}{2}+t=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
$$x=\pm\frac{2\pi}{3}-2t+4\pi n.$$
Следовательно,
$$x=\pm\frac{2\pi}{3}-2\arccos\frac{5}{13}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$