Упр.22.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin 5x + cos 5x = 1,5;
б) 3sin 2x — 4cos 2x = корень(26);
в) sin 7x — корень(3)cos 7x = пи/2;
г) 5sin x + 12cos x = корень(170)?

1. $$\sin 5x+\cos 5x=1{,}5$$

   Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

   $$\sin 5x+\cos 5x=\sqrt{2}\sin(5x+t),$$

   где $$\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}.$$

   Тогда

   $$-\sqrt{2}\le \sin 5x+\cos 5x\le \sqrt{2}.$$

   Но $$1{,}5>\sqrt{2},$$ значит, равенство невозможно.

2. $$3\sin 2x-4\cos 2x=\sqrt{26}$$

   Преобразуем левую часть:

   $$3\sin 2x-4\cos 2x=5\sin(2x+t),$$

   так как

   $$5=\sqrt{3^2+(-4)^2}.$$

   Следовательно,

   $$-5\le 3\sin 2x-4\cos 2x\le 5.$$

   Но $$\sqrt{26}>5,$$ значит, равенство невозможно.

3. $$\sin 7x-\sqrt{3}\cos 7x=\frac{\pi}{2}$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\sin 7x-\sqrt{3}\cos 7x=2\sin(7x+t),$$

   так как

   $$2=\sqrt{1^2+(\!-\sqrt{3})^2}.$$

   Тогда

   $$-2\le \sin 7x-\sqrt{3}\cos 7x\le 2.$$

   Поскольку

   $$\frac{\pi}{2}<2,$$

   равенство возможно.

4. $$5\sin x+12\cos x=\sqrt{170}$$

   Преобразуем левую часть:

   $$5\sin x+12\cos x=13\sin(x+t),$$

   так как

   $$13=\sqrt{5^2+12^2}.$$

   Следовательно,

   $$-13\le 5\sin x+12\cos x\le 13.$$

   Но

   $$\sqrt{170}>13,$$

   значит, равенство невозможно.

Ответ

а) нет; б) нет; в) да; г) нет.