Упр.22.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) корень(3)sin x + cos x = 1;
б) sin x + cos x = корень(2);
в) sin x — корень(3)cos x = корень(3);
г) sin x — cos x = 1.

1. а) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=1$$

   Представим левую часть в виде $$2\sin(x+t)$$:

   $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac12\cos x\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

   Тогда

   $$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1,$$

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac12.$$

   Отсюда

   $$x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

   Следовательно,

   $$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

2. б) $$\sin x+\cos x=\sqrt{2}$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

   Тогда

   $$\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2},$$

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1.$$

   Значит,

   $$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

3. в) $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\left(\frac12\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

   Тогда

   $$2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3},$$

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Отсюда

   $$x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n.$$

4. г) $$\sin x-\cos x=1$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

   Тогда

   $$\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Значит,

   $$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n.$$

Ответ

а) $$x=2\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; б) $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; в) $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; г) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$.