Упр.22.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) корень(3)sin x + cos x;
б) sin x + корень(3)cos x;
в) sin x — cos x;
г) 2sin x — корень(12)cos x.

1. Представим выражение в виде $$A\sin x+B\cos x=C\sin(x+t)$$, где $$C=\sqrt{A^2+B^2}$$.

2. Используем формулу

   $$C\sin(x+t)=C(\sin x\cos t+\cos x\sin t).$$

а) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x$$

$$C=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$$

Тогда

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac12\cos x\right).$$

Сравнивая с $$2(\sin x\cos t+\cos x\sin t)$$, получаем:

$$\cos t=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin t=\frac12,$$

откуда $$t=\frac{\pi}{6}.$$

Значит,

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

б) $$\sin x+\sqrt{3}\cos x$$

$$C=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$$

Тогда

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right).$$

Сравнивая с $$2(\sin x\cos t+\cos x\sin t)$$, получаем:

$$\cos t=\frac12,\qquad \sin t=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

откуда $$t=\frac{\pi}{3}.$$

Значит,

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

в) $$\sin x-\cos x$$

$$C=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$$

Тогда

$$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right).$$

Сравнивая с $$\sqrt{2}(\sin x\cos t-\cos x\sin t)=\sqrt{2}\sin(x-t)$$, получаем:

$$\cos t=\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad \sin t=\frac{1}{\sqrt{2}},$$

откуда $$t=\frac{\pi}{4}.$$

Значит,

$$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

г) $$2\sin x-\sqrt{12}\cos x$$

$$C=\sqrt{2^2+(-\sqrt{12})^2}=4$$

Тогда

$$2\sin x-\sqrt{12}\cos x=4\left(\frac12\sin x-\frac{\sqrt{12}}{4}\cos x\right).$$

Сравнивая с $$4(\sin x\cos t-\cos x\sin t)=4\sin(x-t)$$, получаем:

$$\cos t=\frac12,\qquad \sin t=\frac{\sqrt{12}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

откуда $$t=\frac{\pi}{3}.$$

Значит,

$$2\sin x-\sqrt{12}\cos x=4\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Ответ

а) $$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$$; б) $$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$; в) $$\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$; г) $$4\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$.