Упр.22.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) cos 6x + cos 8x = cos 10x + cos 12x;
б) sin 2x + 5sin 4x + sin 6x = 0.

а) Преобразуем левую и правую части по формулам суммы в произведение:

$$ \cos 6x+\cos 8x=\cos 10x+\cos 12x $$
$$ (\cos 12x-\cos 8x)+(\cos 10x-\cos 6x)=0 $$
$$ -2\sin 10x\sin 2x-2\sin 8x\sin 2x=0 $$
$$ -2\sin 2x(\sin 10x+\sin 8x)=0 $$
$$ -2\sin 2x\cdot 2\sin 9x\cos x=0 $$
$$ 2\sin 2x\sin 9x\cos x=0 $$

Отсюда:

$$ \sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 9x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0. $$

На интервале $$\left(0;2{,}5\right)$$ получаем:

$$ \sin 2x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2} $$
$$ \sin 9x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{9},\ \frac{2\pi}{9},\ \frac{3\pi}{9},\ \frac{4\pi}{9},\ \frac{5\pi}{9},\ \frac{6\pi}{9},\ \frac{7\pi}{9} $$
$$ \cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2} $$

Итак, корни на заданном интервале:

$$ x=\frac{\pi}{9},\ \frac{2\pi}{9},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{9},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{5\pi}{9},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{7\pi}{9}. $$

б) Преобразуем сумму синусов:

$$ \sin 2x+5\sin 4x+\sin 6x=0 $$
$$ (\sin 2x+\sin 6x)+5\sin 4x=0 $$
$$ 2\sin 4x\cos 2x+5\sin 4x=0 $$
$$ \sin 4x(2\cos 2x+5)=0 $$

Следовательно,

$$ \sin 4x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 2x+5=0. $$

Уравнение $$2\cos 2x+5=0$$ не имеет решений, так как

$$ \cos 2x=-\frac{5}{2} $$

невозможно.

Значит,

$$ \sin 4x=0 \Rightarrow 4x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4}. $$

На интервале $$\left(0;2{,}5\right)$$ подходят значения:

$$ x=\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4}. $$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{9},\ \frac{2\pi}{9},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{9},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{5\pi}{9},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{7\pi}{9}$$

б) $$\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4}$$