Упр.22.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) sin 2x + sin 6x = cos 2x;
б) 2cos^2 x — 1 = sin Зx?

а)

$$\sin 2x+\sin 6x=\cos 2x$$
$$2\sin 4x\cos 2x-\cos 2x=0$$
$$\cos 2x\,(2\sin 4x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin 4x-1=0$$

1) $$\cos 2x=0$$

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{4}$$

2) $$2\sin 4x-1=0$$

$$\sin 4x=\frac12$$
$$4x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 4x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{24},\ \frac{5\pi}{24}$$

Итак, на данном отрезке три корня.

б)

$$2\cos^2 x-1=\sin 3x$$
$$\cos 2x=\sin 3x$$
$$\cos 2x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)$$

Тогда:

$$2x=\frac{\pi}{2}-3x+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=-\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)+2\pi n$$

Из первого уравнения:

$$5x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5}$$

Из второго уравнения:

$$-x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$
$$x=-\frac{\pi}{2}-2\pi n$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ подходят значения:

$$x=\frac{\pi}{10},\ \frac{\pi}{2}$$

Следовательно, на данном отрезке два корня.

Ответ

а) 3 корня; б) 2 корня.