Упр.22.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin x + sin 3x + cos x + cos 3x = 0;
б) sin 5x + sin x + 2sin^2 x = 1.

1. а) Преобразуем сумму по формулам приведения:

   $$ \sin x+\sin 3x+\cos x+\cos 3x=0 $$

   $$ (\sin x+\sin 3x)+(\cos x+\cos 3x)=0 $$

   $$ 2\sin 2x\cos(-x)+2\cos 2x\cos(-x)=0 $$

   $$ 2\cos x(\sin 2x+\cos 2x)=0 $$

   Отсюда:

   $$ \cos x=0 $$

   или

   $$ \sin 2x+\cos 2x=0 $$

   Во втором случае:

   $$ \sin 2x+\cos 2x=0 $$

   $$ \tg 2x=-1 $$

   $$ 2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n $$

   $$ x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2} $$

   Первое уравнение даёт:

   $$ \cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n $$

2. б) Преобразуем левую часть:

   $$ \sin 5x+\sin x+2\sin^2 x=1 $$

   $$ (\sin 5x+\sin x)+2\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}=1 $$

   $$ 2\sin 3x\cos 2x+1-\cos 2x=1 $$

   $$ \cos 2x(2\sin 3x-1)=0 $$

   Следовательно,

   $$ \cos 2x=0 $$

   или

   $$ 2\sin 3x-1=0 $$

   Из первого уравнения:

   $$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n $$

   $$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} $$

   Из второго уравнения:

   $$ \sin 3x=\frac12 $$

   $$ 3x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n $$

   $$ x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3} $$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$