Упр.22.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) tg x + tg 5x = 0;
б) tg 3x = ctg x;
в) tg 2x = tg 4x;
г) ctg x/2 + ctg 3x/2 = 0.

1. $$\tg x+\tg 5x=0$$

   $$\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin 5x}{\cos 5x}=0$$

   $$\frac{\sin x\cos 5x+\cos x\sin 5x}{\cos x\cos 5x}=0$$

   $$\frac{\sin( x+5x)}{\cos x\cos 5x}=0$$

   $$\sin 6x=0$$

   $$6x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{6}$$

   Проверка ОДЗ:

   $$\cos x\ne 0,\qquad \cos 5x\ne 0$$

   Полученные значения $$x=\frac{\pi n}{6}$$ не должны совпадать с точками разрыва, поэтому остаются все решения, кроме тех, при которых $$\cos x=0$$ или $$\cos 5x=0$$. Это даёт общий ответ:

   $$x=\frac{\pi n}{6},\quad n\in\mathbb Z,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\quad x\ne \frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}$$

2. $$\tg 3x=\ctg x$$

   $$\tg 3x-\ctg x=0$$

   $$\frac{\sin 3x}{\cos 3x}-\frac{\cos x}{\sin x}=0$$

   $$\frac{\sin 3x\sin x-\cos x\cos 3x}{\sin x\cos 3x}=0$$

   $$-\frac{\cos(3x+x)}{\sin x\cos 3x}=0$$

   $$\cos 4x=0$$

   $$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$

   Проверка ОДЗ:

   $$\sin x\ne 0,\qquad \cos 3x\ne 0$$

   Эти ограничения не исключают найденные значения.

3. $$\tg 2x=\tg 4x$$

   $$\tg 2x-\tg 4x=0$$

   $$\frac{\sin 2x}{\cos 2x}-\frac{\sin 4x}{\cos 4x}=0$$

   $$\frac{\sin 2x\cos 4x-\cos 2x\sin 4x}{\cos 2x\cos 4x}=0$$

   $$\sin(2x-4x)=0$$

   $$\sin 2x=0$$

   $$2x=\pi n,\qquad x=\frac{\pi n}{2}$$

   Проверка ОДЗ:

   $$\cos 2x\ne 0,\qquad \cos 4x\ne 0$$

   При $$x=\frac{\pi n}{2}$$ эти условия выполняются, если $$n\in\mathbb Z$$.

4. $$\ctg \frac{x}{2}+\ctg \frac{3x}{2}=0$$

   $$\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}+\frac{\cos \frac{3x}{2}}{\sin \frac{3x}{2}}=0$$

   $$\frac{\cos \frac{x}{2}\sin \frac{3x}{2}+\sin \frac{x}{2}\cos \frac{3x}{2}}{\sin \frac{x}{2}\sin \frac{3x}{2}}=0$$

   $$\frac{\sin 2x}{\sin \frac{x}{2}\sin \frac{3x}{2}}=0$$

   $$\sin 2x=0$$

   $$2x=\pi n,\qquad x=\frac{\pi n}{2}$$

   Проверка ОДЗ:

   $$\sin \frac{x}{2}\ne 0,\qquad \sin \frac{3x}{2}\ne 0$$

   Из найденных значений подходят только

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{6},\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.