Упр.22.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 2sin^2 x + cos 5x = 1;
б) 2sin^2 3x — 1 = cos^2 4x — sin^2 4x.

а)

$$2\sin^2 x+\cos 5x=1$$
$$2\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}+\cos 5x=1$$
$$1-\cos 2x+\cos 5x=1$$
$$\cos 5x-\cos 2x=0$$
$$-2\sin \frac{5x+2x}{2}\sin \frac{5x-2x}{2}=0$$
$$-2\sin \frac{7x}{2}\sin \frac{3x}{2}=0$$
$$\sin \frac{7x}{2}\sin \frac{3x}{2}=0$$

Следовательно,

$$\sin \frac{7x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin \frac{3x}{2}=0$$

$$\frac{7x}{2}=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{2\pi n}{7}$$
$$\frac{3x}{2}=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{2\pi n}{3}$$

б)

$$2\sin^2 3x-1=\cos^2 4x-\sin^2 4x$$
$$2\cdot \frac{1-\cos 6x}{2}-1=\cos 8x$$
$$1-\cos 6x-1=\cos 8x$$
$$\cos 8x+\cos 6x=0$$
$$2\cos \frac{8x+6x}{2}\cos \frac{8x-6x}{2}=0$$
$$2\cos 7x\cos x=0$$
$$\cos 7x\cos x=0$$

Следовательно,

$$\cos 7x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0$$

$$7x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{14}+\frac{\pi n}{7}$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

Второе множество решений входит в первое, поэтому

$$x=\frac{\pi}{14}+\frac{\pi n}{7}, \quad n\in \mathbb{Z}$$

Ответ

а) $$x=\frac{2\pi n}{7},\ \frac{2\pi n}{3},\ n\in \mathbb{Z}$$

б) $$x=\frac{\pi}{14}+\frac{\pi n}{7},\ n\in \mathbb{Z}$$