Упр.22.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) sin^2 (a + b) — sin^2 (a — b) = sin 2a * sin 2b;
6) cos^2 (a — b) — cos^2 (a + b) = sin 2a * sin 2b.

1. Докажем тождество

   $$\sin^2(\alpha+\beta)-\sin^2(\alpha-\beta)=\sin 2\alpha\cdot \sin 2\beta.$$

   Используем формулу разности квадратов:

   $$\sin^2(\alpha+\beta)-\sin^2(\alpha-\beta)=\bigl(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\bigr)\bigl(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr).$$

   Применим формулы суммы и разности синусов:

   $$\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta,$$

   $$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta.$$

   Тогда

   $$\sin^2(\alpha+\beta)-\sin^2(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta\cdot 2\sin\alpha\cos\beta.$$

   Преобразуем:

   $$2\cos\alpha\sin\beta\cdot 2\sin\alpha\cos\beta=\bigl(2\sin\alpha\cos\alpha\bigr)\bigl(2\sin\beta\cos\beta\bigr)=\sin 2\alpha\cdot \sin 2\beta.$$

2. Докажем тождество

   $$\cos^2(\alpha-\beta)-\cos^2(\alpha+\beta)=\sin 2\alpha\cdot \sin 2\beta.$$

   Снова используем формулу разности квадратов:

   $$\cos^2(\alpha-\beta)-\cos^2(\alpha+\beta)=\bigl(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr)\bigl(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\bigr).$$

   По формулам суммы и разности косинусов:

   $$\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2\sin\alpha\sin\beta,$$

   $$\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)=2\cos\alpha\cos\beta.$$

   Тогда

   $$\cos^2(\alpha-\beta)-\cos^2(\alpha+\beta)=2\sin\alpha\sin\beta\cdot 2\cos\alpha\cos\beta.$$

   Следовательно,

   $$2\sin\alpha\sin\beta\cdot 2\cos\alpha\cos\beta=\bigl(2\sin\alpha\cos\alpha\bigr)\bigl(2\sin\beta\cos\beta\bigr)=\sin 2\alpha\cdot \sin 2\beta.$$

Ответ

$$\sin^2(\alpha+\beta)-\sin^2(\alpha-\beta)=\sin 2\alpha\cdot \sin 2\beta,$$

$$\cos^2(\alpha-\beta)-\cos^2(\alpha+\beta)=\sin 2\alpha\cdot \sin 2\beta.$$