Упр.21.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) tg (2a + 2b) = 2tg (a + b) / (1 — tg^2 (a + b));
б) tg (a + b) = 2tg (a/2 + b/2) / (1 — tg^2 (a/2 + b/2)).

1. Используем формулу двойного аргумента для тангенса:

   $$\tg 2x=\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}.$$

   Тогда при $$x=a+b$$ получаем:

   $$\frac{2\tg(a+b)}{1-\tg^2(a+b)}=\tg 2(a+b)=\tg(2a+2b).$$

   Следовательно,

   $$\tg(2a+2b)=\frac{2\tg(a+b)}{1-\tg^2(a+b)}.$$

2. Аналогично, положив $$x=\frac{a+b}{2}$$, имеем:

   $$\frac{2\tg\left(\frac{a+b}{2}\right)}{1-\tg^2\left(\frac{a+b}{2}\right)}=\tg\left(2\cdot\frac{a+b}{2}\right)=\tg(a+b).$$

   Значит,

   $$\tg(a+b)=\frac{2\tg\left(\frac{a+b}{2}\right)}{1-\tg^2\left(\frac{a+b}{2}\right)}.$$

Ответ

а) $$\tg(2a+2b)=\frac{2\tg(a+b)}{1-\tg^2(a+b)}$$

б) $$\tg(a+b)=\frac{2\tg\left(\frac{a+b}{2}\right)}{1-\tg^2\left(\frac{a+b}{2}\right)}$$