Упр.21.49 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) sin x + 7cos x = 5;
б) 5sin x + 1Ocos x + 2 = 0.

а) Используем формулы

$$\sin x=\frac{2\tg \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}, \qquad \cos x=\frac{1-\tg^2 \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}.$$

Пусть $$u=\tg \frac{x}{2}.$$ Тогда

$$\frac{2u}{1+u^2}+7\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}=5.$$

Умножим на $$1+u^2$$:

$$2u+7(1-u^2)=5(1+u^2).$$

$$2u+7-7u^2=5+5u^2.$$

$$12u^2-2u-2=0.$$

$$6u^2-u-1=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-1)^2-4\cdot 6\cdot (-1)=25,$$

$$u_{1,2}=\frac{1\pm 5}{12}.$$

Отсюда

$$u_1=\frac12,\qquad u_2=-\frac13.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\tg \frac{x}{2}=\frac12 \Rightarrow \frac{x}{2}=\arctg \frac12+\pi k \Rightarrow x=2\arctg \frac12+2\pi k,$$

$$\tg \frac{x}{2}=-\frac13 \Rightarrow \frac{x}{2}=-\arctg \frac13+\pi k \Rightarrow x=-2\arctg \frac13+2\pi k.$$

б) Аналогично:

$$5\sin x+10\cos x+2=0.$$

Подставим формулы через $$u=\tg \frac{x}{2}$$:

$$5\cdot \frac{2u}{1+u^2}+10\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}+2=0.$$

Умножим на $$1+u^2$$:

$$10u+10(1-u^2)+2(1+u^2)=0.$$

$$10u+10-10u^2+2+2u^2=0.$$

$$4u^2-5u-6=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-5)^2-4\cdot 4\cdot (-6)=121,$$

$$u_{1,2}=\frac{5\pm 11}{8}.$$

Получаем

$$u_1=2,\qquad u_2=-\frac34.$$

Тогда

$$\tg \frac{x}{2}=2 \Rightarrow x=2\arctg 2+2\pi k,$$

$$\tg \frac{x}{2}=-\frac34 \Rightarrow x=-2\arctg \frac34+2\pi k.$$

Ответ

а) $$x=2\arctg \frac12+2\pi k,\; x=-2\arctg \frac13+2\pi k,\; k\in \mathbb Z.$$

б) $$x=2\arctg 2+2\pi k,\; x=-2\arctg \frac34+2\pi k,\; k\in \mathbb Z.$$