Упр.21.47 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 4sin^2 x + sin^2 2x = 3;
б) 4cos^2 2x + 8cos^2 x = 7.

а) $$4\sin^2 x+\sin^2 2x=3$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$ 4\sin^2 x+4\sin^2 x\cos^2 x=3 $$
$$ 4\sin^2 x\bigl(1+\cos^2 x\bigr)=3 $$

Положим $$t=\sin^2 x$$, тогда $$\cos^2 x=1-t$$. Получаем:

$$ 4t+4t(1-t)=3 $$
$$ -4t^2+8t-3=0 $$
$$ 4t^2-8t+3=0 $$
$$ D=64-48=16 $$
$$ t_{1,2}=\frac{8\pm 4}{8} $$
$$ t_1=\frac12,\quad t_2=\frac32 $$

Значение $$t=\frac32$$ не подходит, так как $$\sin^2 x\le 1$$. Значит,

$$ \sin^2 x=\frac12 $$
$$ \sin x=\pm \frac{\sqrt2}{2} $$

Тогда при $$|x|<4$$ получаем:

$$ x=\pm \frac{\pi}{4},\ \pm \frac{3\pi}{4},\ \pm \frac{5\pi}{4} $$

б) $$4\cos^2 2x+8\cos^2 x=7$$

Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$. Положим $$t=\cos^2 x$$. Тогда

$$ 4(2t-1)^2+8t=7 $$
$$ 16t^2-8t-3=0 $$
$$ D=64+192=256 $$
$$ t_{1,2}=\frac{8\pm 16}{32} $$
$$ t_1=\frac34,\quad t_2=-\frac14 $$

Значение $$t=-\frac14$$ не подходит, поэтому

$$ \cos^2 x=\frac34 $$
$$ \cos x=\pm \frac{\sqrt3}{2} $$

При $$|x|<4$$ получаем:

$$ x=\pm \frac{\pi}{6},\ \pm \frac{5\pi}{6},\ \pm \frac{7\pi}{6} $$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{\pi}{4},\ \pm \frac{3\pi}{4},\ \pm \frac{5\pi}{4}$$;
б) $$x=\pm \frac{\pi}{6},\ \pm \frac{5\pi}{6},\ \pm \frac{7\pi}{6}$$.