Упр.21.46 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) (cos x — sin x)^2 = 1 — 2sin 2x на отрезке [20пи/9; 28пи/9];
б) 2cos^2 (2x — пи/4) — 2sin^2 (пи/4 — 2x) + 1 = 0 на отрезке [пи/2; 3пи/2]?

а) Преобразуем левую часть:

$$ (\cos x-\sin x)^2=\cos^2 x-2\sin x\cos x+\sin^2 x=1-\sin 2x. $$

Тогда уравнение принимает вид:

$$ 1-\sin 2x=1-2\sin 2x, $$

откуда

$$ \sin 2x=0. $$

Следовательно,

$$ 2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$

Найдём корни на отрезке $$\left[\frac{20\pi}{9};\frac{28\pi}{9}\right]$$:

$$ \frac{20\pi}{9}\le \frac{\pi n}{2}\le \frac{28\pi}{9} $$

$$ \frac{40}{9}\le n\le \frac{56}{9}. $$

Подходят значения $$n=5,6$$, значит

$$ x_1=\frac{5\pi}{2},\qquad x_2=3\pi. $$

Итак, на данном отрезке уравнение имеет 2 корня.

б) Используем формулы понижения степени:

$$ 2\cos^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)-2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)+1=0. $$

Так как

$$ \sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)=\sin\left(-(2x-\frac{\pi}{4})\right)=-\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right), $$

то

$$ \sin^2\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)=\sin^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right). $$

Тогда

$$ 2\cos^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)-2\sin^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)+1=0. $$

По формуле $$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$ получаем:

$$ 2\cos\left(2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\right)+1=0, $$

$$ 2\cos\left(4x-\frac{\pi}{2}\right)+1=0. $$

Так как $$\cos\left(4x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin 4x,$$ имеем

$$ 2\sin 4x+1=0, $$

$$ \sin 4x=-\frac12. $$

Общее решение:

$$ 4x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad 4x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. $$

Отсюда

$$ x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} $$

или

$$ x=\frac{7\pi}{24}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z. $$

Найдём корни на отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$.

Для первой серии:

$$ \frac{\pi}{2}\le -\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}\le \frac{3\pi}{2} $$

$$ \frac{13}{24}\le \frac{k}{2}\le \frac{37}{24}, $$

откуда $$k=2,3$$. Получаем:

$$ x=\frac{23\pi}{24},\qquad x=\frac{35\pi}{24}. $$

Для второй серии:

$$ \frac{\pi}{2}\le \frac{7\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}\le \frac{3\pi}{2} $$

$$ \frac{5}{24}\le \frac{k}{2}\le \frac{29}{24}, $$

откуда $$k=1,2$$. Получаем:

$$ x=\frac{19\pi}{24},\qquad x=\frac{31\pi}{24}. $$

Итак, на данном отрезке уравнение имеет 4 корня.

Ответ

а) 2; б) 4.