Упр.21.45 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите эти корни.

Используем формулу понижения степени:

$$2\cos^2\frac{x}{2}=1+\cos x.$$

Тогда уравнение

$$2\cos^2\frac{x}{2}-\cos\frac{\pi}{9}=1$$

преобразуется к виду

$$1+\cos x-\cos\frac{\pi}{9}=1,$$

откуда

$$\cos x=\cos\frac{\pi}{9}.$$

Общее решение:

$$x=\pm \frac{\pi}{9}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Найдём корни на отрезке $$[-2\pi;2\pi].$$

При $$k=0$$ получаем:

$$x=\pm \frac{\pi}{9}.$$

При $$k=1$$:

$$x=2\pi\pm \frac{\pi}{9}=\frac{17\pi}{9},\ \frac{19\pi}{9}.$$

При $$k=-1$$:

$$x=-2\pi\pm \frac{\pi}{9}=-\frac{17\pi}{9},\ -\frac{19\pi}{9}.$$

Из них в отрезок $$[-2\pi;2\pi]$$ входят все найденные значения.

Ответ

$$-\frac{19\pi}{9},\ -\frac{17\pi}{9},\ -\frac{\pi}{9},\ \frac{\pi}{9},\ \frac{17\pi}{9},\ \frac{19\pi}{9}.$$