Упр.21.43 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) 3sin 2x + cos 2x = 1;
6) cos 4x + 2sin 4x = 1.

а) $$3\sin 2x+\cos 2x=1$$

Используем формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

$$3\cdot 2\sin x\cos x+(\cos^2 x-\sin^2 x)=\cos^2 x+\sin^2 x$$
$$6\sin x\cos x-2\sin^2 x=0$$
$$2\sin x(3\cos x-\sin x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 3\cos x-\sin x=0$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$3\cos x-\sin x=0 \Rightarrow \tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos 4x+2\sin 4x=1$$

Преобразуем левую часть:

$$\cos 4x=\cos^2 2x-\sin^2 2x,\qquad \sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$

$$\cos^2 2x-\sin^2 2x+2\cdot 2\sin 2x\cos 2x=\cos^2 2x+\sin^2 2x$$
$$-2\sin^2 2x+4\sin 2x\cos 2x=0$$
$$-2\sin 2x(\sin 2x-2\cos 2x)=0$$

Следовательно,

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x-2\cos 2x=0$$

1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin 2x-2\cos 2x=0 \Rightarrow \tg 2x=2 \Rightarrow 2x=\arctg 2+\pi n,$$
$$x=\frac12\arctg 2+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\; x=\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi n}{2},\; x=\frac12\arctg 2+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$