Упр.21.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin 3x = 3sin x — 4sin^3 x;
б) cos 3x = 4cos^3 x — 3cos x.

а) Представим $$3x$$ в виде $$x+2x$$ и воспользуемся формулами сложения:

$$ \sin 3x=\sin(x+2x)=\sin x\cos 2x+\cos x\sin 2x $$
$$ =\sin x(\cos^2 x-\sin^2 x)+\cos x\cdot 2\sin x\cos x $$
$$ =\sin x(\cos^2 x-\sin^2 x)+2\sin x\cos^2 x $$
$$ =\sin x(1-\sin^2 x)-\sin^3 x+2\sin x(1-\sin^2 x) $$
$$ =3\sin x-4\sin^3 x. $$

Тождество доказано.

б) Аналогично, представим $$3x$$ в виде $$x+2x$$:

$$ \cos 3x=\cos(x+2x)=\cos x\cos 2x-\sin x\sin 2x $$
$$ =\cos x(\cos^2 x-\sin^2 x)-\sin x\cdot 2\sin x\cos x $$
$$ =\cos^3 x-\cos x\sin^2 x-2\sin^2 x\cos x $$
$$ =\cos^3 x-3\sin^2 x\cos x $$
$$ =\cos^3 x-3(1-\cos^2 x)\cos x $$
$$ =4\cos^3 x-3\cos x. $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ \sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x,\qquad \cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x. $$