Упр.21.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) cos^2 t — cos^2 (РїРё/4 — t) = 1/корень(2) sin (РїРё/4 — 2t);
6) sin^2 t — sin^2 (РїРё/4 — t) = 1/корень(2) sin (2t — РїРё/4).

а) Докажем тождество:

$$\cos^2 t-\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\pi}{4}-2t\right).$$

Используем формулы понижения степени и формулу косинуса суммы:

$$ \cos^2 t-\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right) =\frac{1+\cos 2t}{2}-\frac{1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)}{2} $$

$$ =\frac{1}{2}\left(\cos 2t-\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)\right) =\frac{1}{2}\left(\cos 2t-\sin 2t\right). $$

С другой стороны,

$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\pi}{4}-2t\right) =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin\frac{\pi}{4}\cos 2t-\cos\frac{\pi}{4}\sin 2t\right) $$

$$ =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2t-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2t\right) =\frac{1}{2}\left(\cos 2t-\sin 2t\right). $$

Следовательно, тождество верно.

б) Докажем тождество:

$$\sin^2 t-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(2t-\frac{\pi}{4}\right).$$

Используем формулы понижения степени и формулу синуса разности:

$$ \sin^2 t-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right) =\frac{1-\cos 2t}{2}-\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)}{2} $$

$$ =\frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)-\cos 2t\right) =\frac{1}{2}\left(\sin 2t-\cos 2t\right). $$

С другой стороны,

$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(2t-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin 2t\cos\frac{\pi}{4}-\cos 2t\sin\frac{\pi}{4}\right) $$

$$ =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2t-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2t\right) =\frac{1}{2}\left(\sin 2t-\cos 2t\right). $$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$\cos^2 t-\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\pi}{4}-2t\right).$$

б) $$\sin^2 t-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(2t-\frac{\pi}{4}\right).$$