Упр.21.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) (1 — cos 2t + sin 2t) / (1 + sin 2t + cos 2t) = tg t;
б) (1 + cos 2t — sin 2t) / (1 + sin 2t + cos 2t) = tg (пи/4 — t).

Подробный ответ

а) Используем формулы двойного аргумента:

$$ \frac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t} = \frac{1-(\cos^2 t-\sin^2 t)+2\sin t\cos t}{1+2\sin t\cos t+(\cos^2 t-\sin^2 t)} $$

$$ = \frac{\sin^2 t+\sin^2 t+2\sin t\cos t}{\cos^2 t+\cos^2 t+2\sin t\cos t} = \frac{2\sin t(\sin t+\cos t)}{2\cos t(\sin t+\cos t)} = \frac{\sin t}{\cos t} = \tg t. $$

Тождество доказано.

б) Аналогично:

$$ \frac{1+\cos 2t-\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t} = \frac{1+(\cos^2 t-\sin^2 t)-2\sin t\cos t}{1+2\sin t\cos t+(\cos^2 t-\sin^2 t)} $$

$$ = \frac{\cos^2 t+\cos^2 t-2\sin t\cos t}{\cos^2 t+\cos^2 t+2\sin t\cos t} = \frac{2\cos t(\cos t-\sin t)}{2\cos t(\cos t+\sin t)} = \frac{\cos t-\sin t}{\cos t+\sin t}. $$

По формуле

$$ \tg\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\frac{1-\tg t}{1+\tg t} =\frac{\cos t-\sin t}{\cos t+\sin t}, $$

получаем

$$ \frac{1+\cos 2t-\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t} = \tg\left(\frac{\pi}{4}-t\right). $$

Тождество доказано.