Упр.21.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) cos 2х + 3sin x = 1;
б) sin^2 x = -cos 2x;
в) cos 2x = cos^2 x;
г) cos 2x = 2sin^2 x.
а) $$\cos 2x+3\sin x=1$$
$$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$
$$1-2\sin^2 x+3\sin x=1$$
$$2\sin^2 x-3\sin x=0$$
$$\sin x(2\sin x-3)=0$$
Отсюда $$\sin x=0$$ или $$\sin x=\frac32$$. Второе уравнение решений не имеет, так как $$\left|\sin x\right|\le 1$$.
Значит, $$\sin x=0$$, то есть $$x=\pi k$$.
На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем: $$x=0,\ \pi,\ 2\pi$$.
б) $$\sin^2 x=-\cos 2x$$
$$\sin^2 x+\cos 2x=0$$
$$\sin^2 x+\cos^2 x-\sin^2 x=0$$
$$\cos^2 x=0$$
$$\cos x=0$$
Следовательно, $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k$$.
На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем: $$x=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}$$.
в) $$\cos 2x=\cos^2 x$$
$$\cos^2 x-\sin^2 x=\cos^2 x$$
$$-\sin^2 x=0$$
$$\sin x=0$$
Значит, $$x=\pi k$$.
На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем: $$x=0,\ \pi,\ 2\pi$$.
г) $$\cos 2x=2\sin^2 x$$
$$\cos^2 x-\sin^2 x=2\sin^2 x$$
$$\cos^2 x-3\sin^2 x=0$$
$$1-\sin^2 x-3\sin^2 x=0$$
$$4\sin^2 x=1$$
$$\sin x=\pm \frac12$$
Тогда
$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi k$$.
На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем: $$x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}$$.
Ответ
а) $$0,\ \pi,\ 2\pi$$; б) $$\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}$$; в) $$0,\ \pi,\ 2\pi$$; г) $$\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}$$.
