Упр.21.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

a) 1 — cos x = sin x * sin x/2;
6) sin x = tg^2 x/2 (1 + cos x).

Подробный ответ

а)

$$ 1-\cos x=\sin x\cdot \sin \frac{x}{2} $$
Используем формулы
$$ 1-\cos x=2\sin^2 \frac{x}{2}, \qquad \sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}. $$
Тогда
$$ 2\sin^2 \frac{x}{2}=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}, $$
$$ 2\sin^2 \frac{x}{2}-2\sin^2 \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=0, $$
$$ 2\sin^2 \frac{x}{2}\left(1-\cos \frac{x}{2}\right)=0. $$
Отсюда
$$ \sin \frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad 1-\cos \frac{x}{2}=0. $$
1) $$\sin \frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n.$$

2) $$\cos \frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2}=2\pi n \Rightarrow x=4\pi n.$$

Второе множество входит в первое, поэтому
$$ x=2\pi n,\quad n\in \mathbb Z. $$

б)

$$ \sin x=\tg^2 \frac{x}{2}\,(1+\cos x) $$
Преобразуем правую часть:
$$ \tg^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}. $$
Тогда
$$ \sin x=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}(1+\cos x)=1-\cos x. $$
Получаем
$$ \sin x+\cos x=1. $$
Разделим на $$\sqrt{2}$$:
$$ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}. $$
То есть
$$ \sin \frac{\pi}{4}\sin x+\cos \frac{\pi}{4}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}, $$
$$ \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}. $$
Отсюда
$$ x-\frac{\pi}{4}=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n. $$
Получаем
$$ x=2\pi n $$
или
$$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n. $$
Проверим ОДЗ: $$1+\cos x\neq 0,$$ то есть $$x\neq \pi+2\pi n.$$ Найденные решения этому условию удовлетворяют.