Упр.21.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 1 — cos x = 2sin x/2;
б) 1 + cos x = 2cos x/2.

а)

$$ 1-\cos x=2\sin \frac{x}{2} $$
Используем формулы
$$ 1-\cos x=2\sin^2 \frac{x}{2}. $$
Тогда
$$ 2\sin^2 \frac{x}{2}=2\sin \frac{x}{2} $$
$$ \sin^2 \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}=0 $$
$$ \sin \frac{x}{2}\left(\sin \frac{x}{2}-1\right)=0. $$
Отсюда:
$$ \sin \frac{x}{2}=0 $$
или
$$ \sin \frac{x}{2}=1. $$
1) Если $$\sin \frac{x}{2}=0,$$ то
$$ \frac{x}{2}=\pi n,\quad x=2\pi n. $$
2) Если $$\sin \frac{x}{2}=1,$$ то
$$ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=\pi+4\pi n. $$

б)

$$ 1+\cos x=2\cos \frac{x}{2} $$
Используем формулу
$$ 1+\cos x=2\cos^2 \frac{x}{2}. $$
Тогда
$$ 2\cos^2 \frac{x}{2}=2\cos \frac{x}{2} $$
$$ \cos^2 \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}=0 $$
$$ \cos \frac{x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}-1\right)=0. $$
Отсюда:
$$ \cos \frac{x}{2}=0 $$
или
$$ \cos \frac{x}{2}=1. $$
1) Если $$\cos \frac{x}{2}=0,$$ то
$$ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pi+2\pi n. $$
2) Если $$\cos \frac{x}{2}=1,$$ то
$$ \frac{x}{2}=2\pi n,\quad x=4\pi n. $$

Ответ

а) $$x=2\pi n,\ \pi+4\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$
б) $$x=\pi+2\pi n,\ 4\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$