Упр.21.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) sin x * cos x = 1/4;
6) sin 4x * cos 4x = 1/2;
РІ) cos^2 x/3 — sin^2 x/3 = 1/2;
Рі) sin^2 x — cos^2 x = 1/2.

1. а) $$\sin x \cdot \cos x=\frac14$$

   Используем формулу двойного аргумента:

   $$2\sin x\cos x=\frac12$$

   $$\sin 2x=\frac12$$

   Тогда

   $$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

2. б) $$\sin 4x\cdot \cos 4x=\frac12$$

   По формуле двойного аргумента:

   $$2\sin 4x\cos 4x=1$$

   $$\sin 8x=1$$

   Следовательно,

   $$8x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z$$

3. в) $$\cos^2\frac{x}{3}-\sin^2\frac{x}{3}=\frac12$$

   Используем формулу:

   $$\cos^2 t-\sin^2 t=\cos 2t$$

   Тогда

   $$\cos\frac{2x}{3}=\frac12$$

   Отсюда

   $$\frac{2x}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\pm\frac{\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4. г) $$\sin^2 x-\cos^2 x=\frac12$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\cos^2 x-\sin^2 x=-\frac12$$

   $$\cos 2x=-\frac12$$

   Тогда

   $$2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\pm\frac{\pi}{2}+3\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$