Упр.21.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin 2x — 2cos x = 0;
б) sin 2x — sin x = 0;
в) 2sin x = sin 2x;
г) sin 2x + cos x = 0.

1. а) $$\sin 2x-2\cos x=0$$

   Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

   $$2\sin x\cos x-2\cos x=0$$

   $$2\cos x(\sin x-1)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

   Второе уравнение даёт те же значения, поэтому

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

2. б) $$\sin 2x-\sin x=0$$

   $$2\sin x\cos x-\sin x=0$$

   $$\sin x(2\cos x-1)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12$$

   $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

   $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

3. в) $$2\sin x=\sin 2x$$

   $$2\sin x-2\sin x\cos x=0$$

   $$2\sin x(1-\cos x)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1$$

   Оба случая дают

   $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

4. г) $$\sin 2x+\cos x=0$$

   $$2\sin x\cos x+\cos x=0$$

   $$\cos x(2\sin x+1)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

   $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\pi n,\; x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$