Упр.21.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin 22,5;
б) cos 22,5;
в) sin 3пи/8;
г) cos 3пи/8.

Воспользуемся формулами понижения степени:

$$\sin \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}, \qquad \cos \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}.$$

Так как все данные углы лежат в промежутке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right],$$ берём положительные значения корней.

1. $$\sin 22{,}5^\circ=\sin \frac{45^\circ}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos 45^\circ}{2}}$$
   $$=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}.$$

2. $$\cos 22{,}5^\circ=\cos \frac{45^\circ}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos 45^\circ}{2}}$$
   $$=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.$$

3. $$\sin \frac{3\pi}{8}=\sin \frac{3\pi/4}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \frac{3\pi}{4}}{2}}$$
   $$=\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.$$

4. $$\cos \frac{3\pi}{8}=\cos \frac{3\pi/4}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \frac{3\pi}{4}}{2}}$$
   $$=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}.$$

Ответ

$$\sin 22{,}5^\circ=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}, \quad \cos 22{,}5^\circ=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}, \quad \sin \frac{3\pi}{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}, \quad \cos \frac{3\pi}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}.$$