Упр.21.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) cos^4 t — sin^4 t = cos 2t;
6) cos^4 t + sin^4 t = 1 — 1/2 sin^2 2t.

а)

$$ \cos^4 t-\sin^4 t=(\cos^2 t-\sin^2 t)(\cos^2 t+\sin^2 t) $$
Так как $$\cos^2 t+\sin^2 t=1$$, а $$\cos^2 t-\sin^2 t=\cos 2t$$, то
$$ \cos^4 t-\sin^4 t=\cos 2t\cdot 1=\cos 2t. $$
Тождество доказано.

б)

$$ \cos^4 t+\sin^4 t=(\cos^2 t+\sin^2 t)^2-2\sin^2 t\cos^2 t $$
Так как $$\cos^2 t+\sin^2 t=1$$, получаем
$$ \cos^4 t+\sin^4 t=1-2\sin^2 t\cos^2 t. $$
Но
$$ \sin 2t=2\sin t\cos t, $$
значит
$$ \sin^2 2t=4\sin^2 t\cos^2 t, $$
откуда
$$ 2\sin^2 t\cos^2 t=\frac12\sin^2 2t. $$
Следовательно,
$$ \cos^4 t+\sin^4 t=1-\frac12\sin^2 2t. $$
Тождество доказано.

Ответ

а) $$\cos^4 t-\sin^4 t=\cos 2t$$;
б) $$\cos^4 t+\sin^4 t=1-\frac12\sin^2 2t$$.