Упр.21.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) sin t / (2cos^2 t/2);
б) cos t / (cos t/2 + sin t/2);
в) sin 4t / cos 2t;
г) (cos 2t — sin 2t) / cos 4t.
а) Используем формулу $$\sin t=2\sin \frac{t}{2}\cos \frac{t}{2}$$:
$$ \frac{\sin t}{2\cos^2 \frac{t}{2}} = \frac{2\sin \frac{t}{2}\cos \frac{t}{2}}{2\cos^2 \frac{t}{2}} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \tg \frac{t}{2}. $$
б) Представим числитель как разность квадратов:
$$ \frac{\cos t}{\cos \frac{t}{2}+\sin \frac{t}{2}} = \frac{\cos^2 \frac{t}{2}-\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}+\sin \frac{t}{2}} = \frac{\left(\cos \frac{t}{2}-\sin \frac{t}{2}\right)\left(\cos \frac{t}{2}+\sin \frac{t}{2}\right)}{\cos \frac{t}{2}+\sin \frac{t}{2}} = \cos \frac{t}{2}-\sin \frac{t}{2}. $$
в) Используем формулу $$\sin 4t=2\sin 2t\cos 2t$$:
$$ \frac{\sin 4t}{\cos 2t} = \frac{2\sin 2t\cos 2t}{\cos 2t} = 2\sin 2t. $$
г) Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:
$$ \frac{\cos 2t-\sin 2t}{\cos 4t} = \frac{\cos 2t-\sin 2t}{\cos^2 2t-\sin^2 2t} = \frac{\cos 2t-\sin 2t}{(\cos 2t-\sin 2t)(\cos 2t+\sin 2t)} = \frac{1}{\cos 2t+\sin 2t}. $$
Ответ
а) $$\tg \frac{t}{2}$$; б) $$\cos \frac{t}{2}-\sin \frac{t}{2}$$; в) $$2\sin 2t$$; г) $$\frac{1}{\cos 2t+\sin 2t}$$.
