Упр.21.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) Дано: sin 2x = -3/5, пи/2 < x < 3пи/4. Вычислите: cos x; sin x; tg x; ctg x. б) Дано: tg 2x = 3/4, пи < x < 5пи/4. Вычислите: cos x; sin x; tg x; ctg x.

Подробный ответ

а) $$\sin 2x=-\frac35,\quad \frac{\pi}{2}
Так как $$\frac{\pi}{2}
Из неравенства для двойного угла получаем, что $$\pi<2x<\frac{3\pi}{2},$$ то есть $$2x$$ находится в III четверти, поэтому $$\cos 2x<0.$$
Найдём $$\cos 2x$$:
$$ \cos 2x=-\sqrt{1-\sin^2 2x} =-\sqrt{1-\frac{9}{25}} =-\sqrt{\frac{16}{25}} =-\frac45. $$
Теперь найдём $$\cos x$$ и $$\sin x$$:
$$ \cos x=-\sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}} =-\sqrt{\frac{1-\frac45}{2}} =-\sqrt{\frac{1}{10}} =-\frac{1}{\sqrt{10}}. $$
$$ \sin x=\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac45}{2}} =\sqrt{\frac{9}{10}} =\frac{3}{\sqrt{10}}. $$
Тогда
$$ \tg x=\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{3/\sqrt{10}}{-1/\sqrt{10}} =-3, \qquad \ctg x=\frac{1}{\tg x}=-\frac13. $$
б) $$\tg 2x=\frac34,\quad \pi<x<\frac{5\pi}{4}.$$
Так как $$\pi<x<\frac{5\pi}{4},$$ то угол $$x$$ лежит в III четверти, значит $$\sin x<0,\ \cos x<0.$$
Из условия следует, что $$2x$$ находится в I четверти, поэтому $$\cos 2x>0.$$
Найдём $$\cos 2x$$:
$$ \cos 2x=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 2x}} =\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac34\right)^2}} =\frac{1}{\sqrt{\frac{25}{16}}} =\frac45. $$
Теперь найдём $$\cos x$$ и $$\sin x$$:
$$ \cos x=-\sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}} =-\sqrt{\frac{1+\frac45}{2}} =-\sqrt{\frac{9}{10}} =-\frac{3}{\sqrt{10}}. $$
$$ \sin x=-\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}} =-\sqrt{\frac{1-\frac45}{2}} =-\sqrt{\frac{1}{10}} =-\frac{1}{\sqrt{10}}. $$
Тогда
$$ \tg x=\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{-1/\sqrt{10}}{-3/\sqrt{10}} =\frac13, \qquad \ctg x=\frac{1}{\tg x}=3. $$