Упр.21.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Дано: cos t = 3/4, 0 < t < пи/2. Вычислите: cos t/2; sin t/2; tg t/2; ctg t/2. б) Дано: ctg t = 3/4, пи < t < 3пи/2. Вычислите: cos t/2; sin t/2; tg t/2; ctg t/2.

1. а) $$\cos t=\frac34,\quad 0<t<\frac{\pi}{2}.$$

   Тогда $$0<\frac{t}{2}<\frac{\pi}{4},$$ значит, все значения тригонометрических функций угла $$\frac{t}{2}$$ положительны.

   Используем формулы половинного угла:

   $$ \cos\frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac34}{2}} =\sqrt{\frac{7}{8}} =\frac{\sqrt{14}}{4} $$

   $$ \sin\frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac34}{2}} =\sqrt{\frac{1}{8}} =\frac{\sqrt2}{4} $$

   $$ \tg\frac{t}{2}=\frac{\sin\frac{t}{2}}{\cos\frac{t}{2}} =\frac{\frac{\sqrt2}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{4}} =\sqrt{\frac{1}{7}} =\frac{\sqrt7}{7} $$

   $$ \ctg\frac{t}{2}=\frac{1}{\tg\frac{t}{2}}=\sqrt7 $$

2. б) $$\ctg t=\frac34,\quad \pi<t<\frac{3\pi}{2}.$$

   Тогда $$t$$ лежит в третьей четверти, поэтому $$\sin t<0,\ \cos t<0.$$

   Найдём $$\tg t$$:

   $$ \tg t=\frac{1}{\ctg t}=\frac43 $$

   Из формулы $$1+\tg^2 t=\frac{1}{\cos^2 t}$$ получаем:

   $$ \cos t=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}} =-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac43\right)^2}} =-\frac{3}{5} $$

   $$ \sin t=\ctg t\cdot \cos t=\frac34\cdot\left(-\frac35\right)=-\frac45 $$

   Теперь $$\frac{\pi}{2}<\frac{t}{2}<\frac{3\pi}{4},$$ значит, угол $$\frac{t}{2}$$ во второй четверти: $$\sin\frac{t}{2}>0,\ \cos\frac{t}{2}<0.$$

   $$ \cos\frac{t}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}} =-\sqrt{\frac{1-\frac35}{2}} =-\sqrt{\frac{1}{5}} =-\frac{\sqrt5}{5} $$

   $$ \sin\frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac35}{2}} =\sqrt{\frac45} =\frac{2\sqrt5}{5} $$

   $$ \tg\frac{t}{2}=\frac{\sin\frac{t}{2}}{\cos\frac{t}{2}} =\frac{\frac{2\sqrt5}{5}}{-\frac{\sqrt5}{5}} =-2 $$

   $$ \ctg\frac{t}{2}=\frac{1}{\tg\frac{t}{2}}=-\frac12 $$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt{14}}{4};\ \frac{\sqrt2}{4};\ \frac{\sqrt7}{7};\ \sqrt7.$$
б) $$-\frac{\sqrt5}{5};\ \frac{2\sqrt5}{5};\ -2;\ -\frac12.$$