Упр.20.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) tg (РїРё/4 — a), если tg a = 2/3;
6) tg (a + пи/3), если tg a = 4/5;
в) tg (пи/2 + a), если ctg a = 4/3;
Рі) tg (a — РїРё/4), если ctg a = 1,6.

1. $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{4}-\tg a}{1+\tg\frac{\pi}{4}\cdot\tg a}$$

   Так как $$\tg\frac{\pi}{4}=1$$ и $$\tg a=\frac{2}{3}$$, то

   $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\frac{1-\frac{2}{3}}{1+1\cdot\frac{2}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{1}{5}.$$

2. $$\tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\tg a+\tg\frac{\pi}{3}}{1-\tg a\cdot\tg\frac{\pi}{3}}$$

   Так как $$\tg a=\frac{4}{5}$$ и $$\tg\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$$, то

   $$\tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\frac{4}{5}+\sqrt{3}}{1-\frac{4}{5}\sqrt{3}}=\frac{4+5\sqrt{3}}{5-4\sqrt{3}}.$$

   Рационализуем знаменатель:

   $$\tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{(4+5\sqrt{3})(5+4\sqrt{3})}{(5-4\sqrt{3})(5+4\sqrt{3})}=\frac{80+41\sqrt{3}}{-23}=-\frac{80+41\sqrt{3}}{23}.$$

3. $$\tg\left(\frac{\pi}{2}+a\right)=-\ctg a$$

   Если $$\ctg a=\frac{4}{3}$$, то

   $$\tg\left(\frac{\pi}{2}+a\right)=-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3}.$$

4. Сначала найдём $$\tg a$$:

   $$\tg a=\frac{1}{\ctg a}=\frac{1}{1{,}6}=\frac{5}{8}.$$

   Тогда

   $$\tg\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg a-\tg\frac{\pi}{4}}{1+\tg a\cdot\tg\frac{\pi}{4}}=\frac{\frac{5}{8}-1}{1+\frac{5}{8}\cdot 1}=\frac{-\frac{3}{8}}{\frac{13}{8}}=-\frac{3}{13}.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{5}$$; б) $$-\frac{80+41\sqrt{3}}{23}$$; в) $$-\frac{4}{3}$$; г) $$-\frac{3}{13}$$.