Упр.20.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

a) tg (a + пи/3);
6) tg (a — пи/3).

Подробный ответ

Так как $$\cos a=\frac{3}{5}$$ и $$0<a<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$a$$ лежит в первой четверти, значит $$\sin a>0$$.

Найдём синус и тангенс угла $$a$$:

$$ \sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} =\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}, $$

$$ \tg a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{4/5}{3/5}=\frac{4}{3}. $$

Используем формулы:

$$ \tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\,\tg\beta},\qquad \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\,\tg\beta}. $$

Так как $$\tg\frac{\pi}{3}=\sqrt{3},$$ получаем:

$$ \tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\frac{4}{3}+\sqrt{3}}{1-\frac{4}{3}\sqrt{3}} =\frac{4+3\sqrt{3}}{3-4\sqrt{3}}. $$

Рационализуем знаменатель:

$$ \tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{(4+3\sqrt{3})(3+4\sqrt{3})}{(3-4\sqrt{3})(3+4\sqrt{3})} =\frac{12+16\sqrt{3}+9\sqrt{3}+36}{9-48} =-\frac{48+25\sqrt{3}}{39}. $$

Теперь найдём:

$$ \tg\left(a-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\frac{4}{3}-\sqrt{3}}{1+\frac{4}{3}\sqrt{3}} =\frac{4-3\sqrt{3}}{3+4\sqrt{3}}. $$

Рационализуем знаменатель:

$$ \tg\left(a-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{(4-3\sqrt{3})(3-4\sqrt{3})}{(3+4\sqrt{3})(3-4\sqrt{3})} =\frac{12-16\sqrt{3}-9\sqrt{3}+36}{9-48} =\frac{48-25\sqrt{3}}{39}. $$