Упр.20.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (корень(3) — tg x) / (1 + корень(3)tg x) = 1;
б) (tg пи/5 — tg 2x) / (tg пи/5 * tg 2x + 1) = корень(3).

а) Используем формулу тангенса разности:

$$\frac{\sqrt{3}-\tg x}{1+\sqrt{3}\tg x}=1 \;\Rightarrow\; \tg\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=1.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{3}-x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{12}+\pi k.$$

Найдём значения на отрезке $$[-\pi;2\pi]$$:

$$x=-\frac{11\pi}{12},\ \frac{\pi}{12},\ \frac{13\pi}{12}.$$

б) Аналогично:

$$\frac{\tg\frac{\pi}{5}-\tg 2x}{\tg\frac{\pi}{5}\cdot\tg 2x+1}=\sqrt{3} \;\Rightarrow\; \tg\left(\frac{\pi}{5}-2x\right)=\sqrt{3}.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{5}-2x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

$$-2x=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{5}+\pi k=\frac{2\pi}{15}+\pi k,$$

$$x=-\frac{\pi}{15}+\frac{\pi k}{2}.$$

Найдём значения на отрезке $$[-\pi;2\pi]$$:

$$x=-\frac{17\pi}{30},\ -\frac{\pi}{15},\ \frac{13\pi}{30},\ \frac{14\pi}{15},\ \frac{43\pi}{30},\ \frac{29\pi}{15}.$$

Ответ

а) $$-\frac{11\pi}{12},\ \frac{\pi}{12},\ \frac{13\pi}{12}$$

б) $$-\frac{17\pi}{30},\ -\frac{\pi}{15},\ \frac{13\pi}{30},\ \frac{14\pi}{15},\ \frac{43\pi}{30},\ \frac{29\pi}{15}$$