Упр.2.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

y =
система
4 — 2×2, если -1 < = х < = 1, х + 1, если 1 < х < = 3.

Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} 4-2x^2, & -1 \le x \le 1,\\ x+1, & 1 < x \le 3. \end{cases} $$

Рассмотрим каждую часть отдельно.

1. На отрезке $$[-1;1]$$ имеем параболу $$y=4-2x^2$$, ветви которой направлены вниз. Найдём несколько точек:

   $$x=-1 \Rightarrow y=4-2\cdot 1=2,$$
   $$x=0 \Rightarrow y=4,$$
   $$x=1 \Rightarrow y=2.$$

2. На промежутке $$1<x\le 3$$ имеем прямую $$y=x+1$$. Для построения достаточно точек:

   $$x=1 \Rightarrow y=2,$$
   $$x=3 \Rightarrow y=4.$$

График состоит из дуги параболы на $$[-1;1]$$ и отрезка прямой на $$1<x\le 3$$. Точка $$x=1$$ принадлежит первой части, поэтому на графике отмечается точка $$ (1;2) $$.

По графику получаем:

$$D(y)=[-1;3], \qquad E(y)=[2;4].$$

Функция возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[1;3]$$, убывает на $$[0;1]$$.

Наибольшее значение равно $$4$$ и достигается при $$x=0$$, наименьшее значение равно $$2$$ и достигается при $$x=-1$$ и $$x=1$$.

Функция ограничена снизу и сверху. На промежутке $$[-1;3]$$ она непрерывна, кроме точки $$x=1$$, где происходит переход от одной формулы к другой.

Ответ

$$ D(y)=[-1;3], \quad E(y)=[2;4]. $$
Функция возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[1;3]$$, убывает на $$[0;1]$$; ограничена снизу и сверху; $$y_{\max}=4$$ при $$x=0$$, $$y_{\min}=2$$ при $$x=-1$$ и $$x=1$$.