Упр.19.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) sin (30 — а) — cos (60 — а) = -корень(3) sin а;
6) sin (30 — а) + sin (30 + а) = cos а.

а) Используем формулы синуса и косинуса разности:

$$ \sin(30^\circ-\alpha)-\cos(60^\circ-\alpha) $$
$$ =\left(\sin 30^\circ \cos \alpha-\cos 30^\circ \sin \alpha\right)-\left(\cos 60^\circ \cos \alpha+\sin 60^\circ \sin \alpha\right) $$
$$ =\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha-\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha $$
$$ =-\sqrt3\sin\alpha. $$

Тождество доказано.

б) Используем формулу синуса разности и суммы:

$$ \sin(30^\circ-\alpha)+\sin(30^\circ+\alpha) $$
$$ =\left(\sin 30^\circ \cos \alpha-\cos 30^\circ \sin \alpha\right)+\left(\sin 30^\circ \cos \alpha+\cos 30^\circ \sin \alpha\right) $$
$$ =\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha+\frac12\cos\alpha+\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha $$
$$ =\cos\alpha. $$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$\sin(30^\circ-\alpha)-\cos(60^\circ-\alpha)=-\sqrt3\sin\alpha$$
б) $$\sin(30^\circ-\alpha)+\sin(30^\circ+\alpha)=\cos\alpha$$