Упр.19.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) корень(3)/2 cos x — 1/2 sin х = sin (пи/3 — x);
б) 1/2 cos х + корень(3)/2 sin x = cos (пи/3 — x).

а) Используем формулу синуса разности:

$$ \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cos x-\cos\frac{\pi}{3}\sin x $$

Так как $$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$$, получаем:

$$ \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x $$

Следовательно, тождество доказано.

б) Используем формулу косинуса разности:

$$ \cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x $$

Так как $$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$$, $$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, получаем:

$$ \cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x $$

Следовательно, тождество доказано.

Ответ

а) $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)$$;

б) $$\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)$$.