Упр.19.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) sin х * cos Зх + cos х * sin Зx > 1/2;
б) cos 2х * cos 5х — sin 2х * sin 5x < -1/3;
в) sin x/4 * cos x/2 - cos x/4 * sin x/2 < 1/3;
г) sin 2x * sin 5x + cos 2x * cos 5x > -корень(3)/2.
а) Используем формулу суммы синусов:
$$\sin x\cos 3x+\cos x\sin 3x=\sin(x+3x)=\sin 4x.$$
Тогда
$$\sin 4x>\frac12.$$
Для синуса получаем:
$$\frac{\pi}{6}+2\pi k<4x<\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Делим на 4:
$$\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}<x<\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$
б) Используем формулу косинуса суммы:
$$\cos 2x\cos 5x-\sin 2x\sin 5x=\cos(2x+5x)=\cos 7x.$$
Тогда
$$\cos 7x<-\frac13.$$
Для косинуса:
$$\arccos\!\left(-\frac13\right)+2\pi k<7x<2\pi-\arccos\!\left(-\frac13\right)+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Делим на 7:
$$\frac{\arccos\!\left(-\frac13\right)+2\pi k}{7}<x<\frac{2\pi-\arccos\!\left(-\frac13\right)+2\pi k}{7},\quad k\in\mathbb Z.$$
в) Используем формулу разности синусов:
$$\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{4}\sin\frac{x}{2}=\sin\!\left(\frac{x}{4}-\frac{x}{2}\right)=\sin\!\left(-\frac{x}{4}\right).$$
Получаем
$$\sin\!\left(-\frac{x}{4}\right)<\frac13,$$
то есть
$$\sin\frac{x}{4}>-\frac13.$$
Тогда
$$-\arcsin\frac13+2\pi k<\frac{x}{4}<\pi+\arcsin\frac13+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Умножаем на 4:
$$-4\arcsin\frac13+8\pi k<x<4\pi+4\arcsin\frac13+8\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
г) Используем формулу косинуса разности:
$$\sin 2x\sin 5x+\cos 2x\cos 5x=\cos(5x-2x)=\cos 3x.$$
Тогда
$$\cos 3x>-\frac{\sqrt3}{2}.$$
Для косинуса:
$$-\frac{5\pi}{6}+2\pi k<3x<\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Делим на 3:
$$-\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}<x<\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}<x<\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$
б) $$\frac{\arccos\!\left(-\frac13\right)+2\pi k}{7}<x<\frac{2\pi-\arccos\!\left(-\frac13\right)+2\pi k}{7},\quad k\in\mathbb Z.$$
в) $$-4\arcsin\frac13+8\pi k<x<4\pi+4\arcsin\frac13+8\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
г) $$-\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}<x<\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z.$$
