Упр.19.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) корень(2)cos (пи/4 — x) — cos x = 0,5;
б) корень(2)sin (пи/4 — x/2) + sin x/2 = корень(3)/2.

1. а) $$\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)-\cos x=0{,}5$$

   Раскроем косинус разности:

   $$\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x+\sin\frac{\pi}{4}\sin x\right)-\cos x=\frac12$$

   Так как $$\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$ получаем:

   $$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)-\cos x=\frac12$$

   $$\cos x+\sin x-\cos x=\frac12$$

   $$\sin x=\frac12$$

   Тогда

   $$x=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Раскроем синус разности:

   $$\sqrt{2}\left(\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Так как $$\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$ получаем:

   $$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$\cos\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Тогда

   $$\frac{x}{2}=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   откуда

   $$x=\pm\frac{\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$