Упр.19.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin х * cos 45 + cos x * sin 45 = cos 17 * cos 13 — sin 17 * sin 13;
б) cos x * cos 60 — sin x * sin 60 = sin 200 * cos 25 + cos 200 * sin 25.

1. а) Преобразуем левую и правую части по формулам суммы:

   $$\sin x \cos 45^\circ + \cos x \sin 45^\circ = \sin(x+45^\circ),$$

   $$\cos 17^\circ \cos 13^\circ — \sin 17^\circ \sin 13^\circ = \cos(17^\circ+13^\circ)=\cos 30^\circ.$$

   Тогда

   $$\sin(x+45^\circ)=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Отсюда

   $$x+45^\circ=60^\circ+360^\circ k \quad \text{или} \quad x+45^\circ=120^\circ+360^\circ k.$$

   Получаем

   $$x=15^\circ+360^\circ k \quad \text{или} \quad x=75^\circ+360^\circ k.$$

   Наименьший положительный корень: $$15^\circ.$$

2. б) Аналогично преобразуем выражения:

   $$\cos x \cos 60^\circ — \sin x \sin 60^\circ = \cos(x+60^\circ),$$

   $$\sin 200^\circ \cos 25^\circ + \cos 200^\circ \sin 25^\circ = \sin(200^\circ+25^\circ)=\sin 225^\circ.$$

   Тогда

   $$\cos(x+60^\circ)=\sin 225^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Следовательно,

   $$x+60^\circ=135^\circ+360^\circ k \quad \text{или} \quad x+60^\circ=225^\circ+360^\circ k.$$

   Отсюда

   $$x=75^\circ+360^\circ k \quad \text{или} \quad x=165^\circ+360^\circ k.$$

   Наименьший положительный корень: $$75^\circ.$$

Ответ

а) $$15^\circ$$; б) $$75^\circ$$.