Упр.19.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

a) sin (РїРё/6 + t) * cos (РїРё/3 — t) + sin (2РїРё/3 + t) * sin (РїРё/3 — t);
6) cos (РїРё/4 + t) * cos (РїРё/12 — t) — cos (РїРё/4 — t) * cos (5РїРё/12 + t).

Подробный ответ

а) Используем формулы приведения и формулы суммы:

$$ \sin\left(\frac{\pi}{6}+t\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}-t\right)+\sin\left(\frac{2\pi}{3}+t\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}-t\right) $$
$$ =\sin\left(\frac{\pi}{6}+t\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{6}+t\right)\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}+\left(\frac{\pi}{6}+t\right)\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{6}+t\right)\right) $$
$$ =\sin\left(\frac{\pi}{6}+t\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}+t\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}+t\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}+t\right) $$
$$ =\sin^2\left(\frac{\pi}{6}+t\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{6}+t\right)=1. $$

б) Преобразуем выражение с помощью формул приведения:

$$ \cos\left(\frac{\pi}{4}+t\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-t\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-t\right)\cos\left(\frac{5\pi}{12}+t\right) $$
$$ =\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}-t\right)\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-t\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-t\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{12}-t\right)\right) $$
$$ =\sin\left(\frac{\pi}{4}-t\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-t\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-t\right)\sin\left(\frac{\pi}{12}-t\right) $$
$$ =\sin\left(\left(\frac{\pi}{4}-t\right)-\left(\frac{\pi}{12}-t\right)\right) =\sin\frac{\pi}{6} =\frac12. $$