Упр.18.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

a) 3tg^2 x + 2tg x — 1 = 0;
6) ctg^2 2x — 6ctg 2x + 5 = 0;
РІ) 2tg^2 x + 3tg x — 2 = 0;
Рі) 7ctg^2 x/2 + 2ctg x/2 = 5.

Подробный ответ

$$3\tg^2 x+2\tg x-1=0$$
Сделаем замену $$t=\tg x$$. Тогда
$$3t^2+2t-1=0$$
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16$$
$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{6}$$
$$t_1=-1,\quad t_2=\frac13$$
Тогда
$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\tg x=\frac13 \Rightarrow x=\arctg\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\ctg^2 2x-6\ctg 2x+5=0$$
Пусть $$t=\ctg 2x$$. Тогда
$$t^2-6t+5=0$$
$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5=16$$
$$t_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=5$$
Следовательно,
$$\ctg 2x=1 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
$$\ctg 2x=5 \Rightarrow 2x=\arcctg 5+\pi n \Rightarrow x=\frac12\arcctg 5+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
$$2\tg^2 x+3\tg x-2=0$$
Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
$$2t^2+3t-2=0$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=25$$
$$t_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}$$
$$t_1=\frac12,\quad t_2=-2$$
Значит,
$$\tg x=\frac12 \Rightarrow x=\arctg\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\tg x=-2 \Rightarrow x=-\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$7\ctg^2 \frac{x}{2}+2\ctg \frac{x}{2}=5$$
Пусть $$t=\ctg \frac{x}{2}$$. Тогда
$$7t^2+2t-5=0$$
$$D=2^2-4\cdot 7\cdot(-5)=144$$
$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 12}{14}$$
$$t_1=\frac57,\quad t_2=-1$$
Следовательно,
$$\ctg \frac{x}{2}=\frac57 \Rightarrow \frac{x}{2}=\arcctg\frac57+\pi n \Rightarrow x=2\arcctg\frac57+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\ctg \frac{x}{2}=-1 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{3\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$