Упр.18.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) 2sin^2 x + 3cos x = 0;
6) 8sin^2 2x + cos 2x + 1 = 0;
РІ) 5cos^2 x + 6sin x — 6 = 0;
Рі) 4sin 3x + cos^2 3x = 4.

1. $$2\sin^2 x+3\cos x=0$$

   $$2(1-\cos^2 x)+3\cos x=0$$

   $$2\cos^2 x-3\cos x-2=0$$

   Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

   $$2y^2-3y-2=0$$

   $$D=9+16=25$$

   $$y_1=\frac{3-5}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{3+5}{4}=2$$

   Значение $$y_2=2$$ не подходит, так как $$\cos x\le 1$$.

   Тогда

   $$\cos x=-\frac12$$

   $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$8\sin^2 2x+\cos 2x+1=0$$

   $$8(1-\cos^2 2x)+\cos 2x+1=0$$

   $$8\cos^2 2x-\cos 2x-9=0$$

   Пусть $$y=\cos 2x$$. Тогда

   $$8y^2-y-9=0$$

   $$D=1+288=289$$

   $$y_1=\frac{1-17}{16}=-1,\qquad y_2=\frac{1+17}{16}=\frac98$$

   Значение $$y_2=\frac98$$ не подходит, так как $$\cos 2x\le 1$$.

   Тогда

   $$\cos 2x=-1$$

   $$2x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3. $$5\cos^2 x+6\sin x-6=0$$

   $$5(1-\sin^2 x)+6\sin x-6=0$$

   $$5\sin^2 x-6\sin x+1=0$$

   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

   $$5y^2-6y+1=0$$

   $$D=36-20=16$$

   $$y_1=\frac{6-4}{10}=\frac15,\qquad y_2=\frac{6+4}{10}=1$$

   Тогда

   $$\sin x=\frac15 \quad \text{или} \quad \sin x=1$$

   $$x=(-1)^n\arcsin\frac15+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4. $$4\sin 3x+\cos^2 3x=4$$

   $$4\sin 3x+1-\sin^2 3x=4$$

   $$\sin^2 3x-4\sin 3x+3=0$$

   Пусть $$y=\sin 3x$$. Тогда

   $$y^2-4y+3=0$$

   $$D=16-12=4$$

   $$y_1=1,\qquad y_2=3$$

   Значение $$y_2=3$$ не подходит, так как $$\sin 3x\le 1$$.

   Тогда

   $$\sin 3x=1$$

   $$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;

б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;

в) $$x=(-1)^n\arcsin\frac15+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\ \ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;

г) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$.