Упр.18.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

a) 3sin^2 x — 5sin x — 2 = 0;
б) 3sin^2 2x + 10sin 2x + 3 = 0;
в) 4sin^2 x + 11sin x — 3 = 0;
г) 2sin^2 x/2 — 3sin x/2 + 1 = 0.

Подробный ответ

а) Пусть $$t=\sin x$$. Тогда
$$3t^2-5t-2=0.$$
$$D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49,$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6}.$$
Получаем:
$$t_1=2,\quad t_2=-\frac13.$$
Значение $$t_1=2$$ не подходит, так как $$\sin x\in[-1;1].$$
Значит,
$$\sin x=-\frac13,$$
откуда
$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) Пусть $$t=\sin 2x$$. Тогда
$$3t^2+10t+3=0.$$
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,$$
$$t_{1,2}=\frac{-10\pm 8}{6}.$$
Получаем:
$$t_1=-\frac13,\quad t_2=-3.$$
Значение $$t_2=-3$$ не подходит, так как $$\sin 2x\in[-1;1].$$
Значит,
$$\sin 2x=-\frac13,$$
откуда
$$2x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$x=(-1)^{n+1}\frac12\arcsin\frac13+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
в) Пусть $$t=\sin x$$. Тогда
$$4t^2+11t-3=0.$$
$$D=11^2-4\cdot 4\cdot(-3)=169,$$
$$t_{1,2}=\frac{-11\pm 13}{8}.$$
Получаем:
$$t_1=\frac14,\quad t_2=-3.$$
Значение $$t_2=-3$$ не подходит.
Значит,
$$\sin x=\frac14,$$
откуда
$$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) Пусть $$t=\sin\frac{x}{2}$$. Тогда
$$2t^2-3t+1=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1,$$
$$t_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4}.$$
Получаем:
$$t_1=1,\quad t_2=\frac12.$$
1) Если $$\sin\frac{x}{2}=1,$$ то
$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\pi+4\pi n.$$
2) Если $$\sin\frac{x}{2}=\frac12,$$ то
$$\frac{x}{2}=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$