Упр.18.45 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) sin^2 x + cos^2 2x + cos^2 (3РїРё/2 + 2x) + 2cos x * tg x = 1;
6) 2cos^2 x — sin (x — РїРё/2) + tg x * tg (x + РїРё/2) = 0.

1. а) Используем тождества $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)=\sin 2x$$ и $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$$:

   $$ \sin^2 x+\cos^2 2x+\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)+2\cos x\cdot\tg x=1 $$

   $$ \sin^2 x+\cos^2 2x+\sin^2 2x+2\cos x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=1 $$

   Так как $$\cos^2 2x+\sin^2 2x=1$$, получаем:

   $$ \sin^2 x+1+2\sin x=1 $$

   $$ \sin^2 x+2\sin x=0 $$

   $$ \sin x(\sin x+2)=0 $$

   Отсюда:

   $$ \sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-2 $$

   Значение $$\sin x=-2$$ невозможно, значит остаётся:

   $$ \sin x=0 $$

   $$ x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

2. б) Используем тождества $$\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x$$ и $$\tg\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\ctg x$$:

   $$ 2\cos^2 x-\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\tg x\cdot\tg\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=0 $$

   $$ 2\cos^2 x+\cos x-\tg x\cdot\ctg x=0 $$

   Так как $$\tg x\cdot\ctg x=1$$, получаем:

   $$ 2\cos^2 x+\cos x-1=0 $$

   Сделаем замену $$t=\cos x$$. Тогда:

   $$ 2t^2+t-1=0 $$

   $$ D=1-4\cdot 2\cdot(-1)=9 $$

   $$ t_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4} $$

   $$ t_1=\frac12,\quad t_2=-1 $$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$ \cos x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=-1 $$

   Тогда

   $$ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

   или

   $$ x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.