Упр.18.43 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) 3tg^2 x/2 — 2ctg (3РїРё/2 + x/2) — 1 = 0;
Р±) 3tg^2 4x — 2ctg (РїРё/2 — 4x) = 1;
РІ) tg (РїРё + x) + 2tg(РїРё/2 + x) + 1 = 0;
Рі) 2ctg x — 3ctg (РїРё/2 — x) + 5 = 0.

1. $$3\tg^2\frac{x}{2}-2\ctg\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)-1=0$$
   $$3\tg^2\frac{x}{2}+2\tg\frac{x}{2}-1=0$$
   Пусть $$y=\tg\frac{x}{2}$$, тогда
   $$3y^2+2y-1=0.$$
   $$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$
   $$y_1=\frac{-2-4}{6}=-1,\qquad y_2=\frac{-2+4}{6}=\frac13.$$
   Тогда
   $$\tg\frac{x}{2}=-1 \Rightarrow \frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
   $$\tg\frac{x}{2}=\frac13 \Rightarrow \frac{x}{2}=\arctg\frac13+\pi n \Rightarrow x=2\arctg\frac13+2\pi n.$$

2. $$3\tg^2 4x-2\ctg\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)=1$$
   $$3\tg^2 4x-2\tg 4x-1=0.$$
   Пусть $$y=\tg 4x$$, тогда
   $$3y^2-2y-1=0.$$
   $$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$
   $$y_1=\frac{2-4}{6}=-\frac13,\qquad y_2=\frac{2+4}{6}=1.$$
   Тогда
   $$\tg 4x=-\frac13 \Rightarrow 4x=-\arctg\frac13+\pi n \Rightarrow x=-\frac14\arctg\frac13+\frac{\pi n}{4},$$
   $$\tg 4x=1 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}.$$

3. $$\tg(\pi+x)+2\tg\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+1=0$$
   $$\tg x-2\ctg x+1=0.$$
   Умножим на $$\tg x$$:
   $$\tg^2 x+\tg x-2=0.$$
   Пусть $$y=\tg x$$, тогда
   $$y^2+y-2=0.$$
   $$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9,$$
   $$y_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad y_2=\frac{-1+3}{2}=1.$$
   Тогда
   $$\tg x=-2 \Rightarrow x=-\arctg 2+\pi n,$$
   $$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

4. $$2\ctg x-3\ctg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+5=0$$
   $$2\ctg x-3\tg x+5=0.$$
   Умножим на $$\tg x$$:
   $$2-3\tg^2 x+5\tg x=0,$$
   $$3\tg^2 x-5\tg x-2=0.$$
   Пусть $$y=\tg x$$, тогда
   $$3y^2-5y-2=0.$$
   $$D=5^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49,$$
   $$y_1=\frac{5-7}{6}=-\frac13,\qquad y_2=\frac{5+7}{6}=2.$$
   Тогда
   $$\tg x=-\frac13 \Rightarrow x=-\arctg\frac13+\pi n,$$
   $$\tg x=2 \Rightarrow x=\arctg 2+\pi n.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; 2\arctg\frac13+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

б) $$x=-\frac14\arctg\frac13+\frac{\pi n}{4},\; \frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb Z$$

в) $$x=-\arctg 2+\pi n,\; \frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

г) $$x=-\arctg\frac13+\pi n,\; \arctg 2+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$