Упр.18.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) sin^2 x — 5соs x = sin x * соs x — 5sin x;
б) cos^2 x — 7sin x + sin x * cos x = 7cos x.

Подробный ответ

а)

$$ \sin^2 x — 5\cos x = \sin x \cos x — 5\sin x $$
Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:
$$ \sin^2 x — \sin x \cos x + 5\sin x — 5\cos x = 0 $$
$$ \sin x(\sin x — \cos x) + 5(\sin x — \cos x) = 0 $$
$$ (\sin x + 5)(\sin x — \cos x) = 0 $$
Отсюда:
$$ \sin x + 5 = 0 \quad \text{или} \quad \sin x — \cos x = 0 $$
Первое уравнение решений не имеет, так как
$$ \sin x = -5 $$
невозможно.

Из второго:
$$ \sin x = \cos x $$
$$ \tan x = 1 $$
$$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z} $$

б)

$$ \cos^2 x — 7\sin x + \sin x \cos x = 7\cos x $$
Перенесём всё в одну сторону:
$$ \cos^2 x + \sin x \cos x — 7\cos x — 7\sin x = 0 $$
Сгруппируем:
$$ \cos x(\cos x + \sin x) — 7(\cos x + \sin x) = 0 $$
$$ (\cos x — 7)(\cos x + \sin x) = 0 $$
Отсюда:
$$ \cos x — 7 = 0 \quad \text{или} \quad \cos x + \sin x = 0 $$
Первое уравнение решений не имеет, так как
$$ \cos x = 7 $$
невозможно.

Из второго:
$$ \cos x + \sin x = 0 $$
$$ 1 + \tan x = 0 $$
$$ \tan x = -1 $$
$$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z} $$