Упр.18.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) sin (2x — РїРё/6) + cos (13РїРё/6 — 2x) = 0;
Р±) sin (x/2 + РїРё/3) = корень(3)cos (47РїРё/3 — x/2).

1. а) $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(\frac{13\pi}{6}-2x\right)=0$$

   Так как $$\frac{13\pi}{6}=2\pi+\frac{\pi}{6},$$ то

   $$\cos\left(\frac{13\pi}{6}-2x\right)=\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right).$$

   Кроме того,

   $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{6}-2x\right).$$

   Тогда уравнение принимает вид

   $$-\sin\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=0.$$

   Обозначим $$t=\frac{\pi}{6}-2x.$$ Тогда

   $$-\sin t+\cos t=0 \;\Rightarrow\; \tan t=1.$$

   Следовательно,

   $$\frac{\pi}{6}-2x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Отсюда

   $$2x=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}-\pi k=-\frac{\pi}{12}-\pi k,$$

   $$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

2. б) $$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\cos\left(\frac{47\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)$$

   Упростим аргумент косинуса:

   $$\frac{47\pi}{3}=15\pi+\frac{2\pi}{3},$$

   поэтому

   $$\cos\left(\frac{47\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{x}{2}\right).$$

   Раскроем косинус разности:

   $$\cos\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)=\cos\frac{2\pi}{3}\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{2\pi}{3}\sin\frac{x}{2}.$$

   Тогда

   $$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\left(-\frac12\cos\frac{x}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\sin\frac{x}{2}\right).$$

   Раскроем синус суммы слева:

   $$\sin\frac{x}{2}\cdot\frac12+\cos\frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=-\frac{\sqrt3}{2}\cos\frac{x}{2}+\frac{3}{2}\sin\frac{x}{2}.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$2\sin\frac{x}{2}=0.$$

   Значит,

   $$\sin\frac{x}{2}=0,$$

   откуда

   $$\frac{x}{2}=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$