Упр.18.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = cos 3x + корень(cos^2 3x — 1);
б) у = sin 2x + корень(sin^2 4x — 1).

а) Рассмотрим функцию $$y=\cos 3x+\sqrt{\cos^2 3x-1}.$$

Для существования корня нужно, чтобы

$$\cos^2 3x-1\ge 0.$$

Так как $$\cos^2 3x\le 1,$$ то возможно только

$$\cos^2 3x=1,$$

то есть

$$\cos 3x=\pm 1.$$

Тогда подкоренное выражение равно нулю, и

$$y=\cos 3x.$$

Следовательно, возможны только значения

$$y=1 \quad \text{или} \quad y=-1.$$

Значит, область значений функции:

$$E(y)=\{-1;1\}.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\sin 2x+\sqrt{\sin^2 4x-1}.$$

Для существования корня нужно, чтобы

$$\sin^2 4x-1\ge 0.$$

Так как $$\sin^2 4x\le 1,$$ то возможно только

$$\sin^2 4x=1,$$

то есть

$$\sin 4x=\pm 1.$$

Тогда

$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z},$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4},\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Подставим в функцию:

$$ \sin 2x=\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right). $$

При разных целых $$k$$ получаем значения

$$\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$

Так как подкоренное выражение равно нулю, то

$$y=\sin 2x.$$

Следовательно, область значений функции:

$$E(y)=\left\{-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right\}.$$

Ответ

а) $$\{-1;1\}$$; б) $$\left\{-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right\}$$.