Упр.18.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin (пи/2 + 2x) + cos (пи/2 — 2x) = 0;
б) 2sin (пи — Зх) + cos (2пи — 3x) = 0.

а)

$$ \sin\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0 $$
Используем формулы приведения:
$$ \sin\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)=\cos 2x,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=\sin 2x. $$
Тогда
$$ \cos 2x+\sin 2x=0. $$
Разделим на $$\cos 2x$$:
$$ 1+\tg 2x=0, $$
откуда
$$ \tg 2x=-1. $$
Следовательно,
$$ 2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
Тогда
$$ x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$

б)

$$ 2\sin(\pi-3x)+\cos(2\pi-3x)=0 $$
Используем формулы приведения:
$$ \sin(\pi-3x)=\sin 3x,\qquad \cos(2\pi-3x)=\cos 3x. $$
Получаем:
$$ 2\sin 3x+\cos 3x=0. $$
Разделим на $$\cos 3x$$:
$$ 2\tg 3x+1=0, $$
откуда
$$ \tg 3x=-\frac12. $$
Следовательно,
$$ 3x=-\arctg\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
Тогда
$$ x=-\frac13\arctg\frac12+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=-\frac13\arctg\frac12+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$