Упр.18.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 5sin^2 x + корень(3)sin x * cos x + 6cos^2 x = 5;
6) 2sin^2 x — 3sinx * cosx + 4cos^2 x = 4.

а)

$$5\sin^2 x+\sqrt{3}\sin x\cos x+6\cos^2 x=5$$
$$5\sin^2 x+\sqrt{3}\sin x\cos x+6\cos^2 x-5(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$
$$\cos^2 x+\sqrt{3}\sin x\cos x=0$$
$$\cos x(\cos x+\sqrt{3}\sin x)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0$$
или
$$\cos x+\sqrt{3}\sin x=0$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos x+\sqrt{3}\sin x=0 \Rightarrow 1+\sqrt{3}\tg x=0 \Rightarrow \tg x=-\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

$$x=-\arctg\frac{1}{\sqrt{3}}+\pi n=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б)

$$2\sin^2 x-3\sin x\cos x+4\cos^2 x=4$$
$$2\sin^2 x-3\sin x\cos x+4\cos^2 x-4(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$
$$-2\sin^2 x-3\sin x\cos x=0$$
$$-\sin x(2\sin x+3\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0$$
или
$$2\sin x+3\cos x=0$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$2\sin x+3\cos x=0 \Rightarrow 2\tg x+3=0 \Rightarrow \tg x=-\frac{3}{2}.$$

$$x=-\arctg\frac{3}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\pi n,\; -\arctg\frac{3}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$